Come si scrive
Unione A ∪ B (anche A + B) · intersezione A ∩ B (anche A & B) · differenza A \ B (anche A - B) · differenza simmetrica A Δ B (anche A ^ B) · prodotto cartesiano A × B (anche A * B o A x B) · complementare A′ (anche A', ~A) · insieme delle parti P(A) · cardinalità |A| (anche n(A)) · appartenenza 3 ∈ A (anche 3 in A), 3 ∉ A, rovesciata A ∋ 3, A ∌ 3 · inclusione A ⊆ B (anche A <= B), stretta A ⊂ B (o ⊊), rovesciata A ⊇ B, A ⊃ B (o ⊋), negata A ⊄ B (o ⊈), A ⊉ B, A ⊅ B · uguaglianza A = B, A ≠ B · insieme vuoto ∅ o {} · insiemi scritti al volo {1, 2} ∪ A · parentesi a piacere.
Precedenza (dalla più forte): complementare, prodotto cartesiano, intersezione, poi unione / differenza / differenza simmetrica da sinistra a destra. Nel dubbio metti le parentesi.
In LaTeX. Puoi scrivere i comandi di LaTeX, sia nell'operazione sia nelle definizioni: appena il comando è completo (e seguito da uno spazio o da una parentesi) diventa il simbolo. Quindi (A \cup B) \cap C^c diventa (A ∪ B) ∩ C′.
Unione \cup · intersezione \cap · differenza \setminus (o \smallsetminus) · differenza simmetrica \triangle, \Delta, \ominus · prodotto cartesiano \times · complementare A^c, A^{c}, \overline{A}, \bar{A}, \complement A · insieme delle parti \mathcal{P}(A) · cardinalità \lvert A \rvert o |A| · appartenenza \in, \notin, \ni · inclusione \subseteq, \subset, \subsetneq, \supseteq, \supset, \nsubseteq, \not\subset, \nsupseteq · \neq o \ne · insieme vuoto \emptyset, \varnothing · graffe \{1, 2\} · puntini \ldots o \dots (\{1, \dots, 10\} = {1..10}) · \left( \right), \, e \; vengono tolti.
La barra da sola resta la differenza: A \ B.
Puntini. Dentro le graffe .. (anche ... o …) completa l'elenco guardando gli elementi scritti prima, fino a tre: {1, .., 10} o {1..10} passo 1 (anche all'indietro: {10, .., 1}) · {3, 6, 9, .., 30} o {3, 6, .., 30} passo costante (anche negativo o decimale: {0, 0.5, .., 3}) · {1, 2, 4, .., 64}, {1, 3, 9, .., 729}, {64, 32, .., 1} ragione costante · {1, 4, 9, .., 100} quadrati · {1, 8, 27, .., 1000} cubi · {a, c, e, .., m} lettere a passo. Con due soli elementi prima dei puntini prova prima il passo costante, poi la ragione. Dopo i puntini ci vuole sempre l'ultimo elemento, che deve stare esattamente sulla regola: altrimenti l'errore ti dice i valori vicini. Più blocchi di puntini nello stesso insieme vanno bene: {1, 2, .., 5, 10, 20, .., 50}.
Dalle parole. lettere("francesco") = {a, c, e, f, n, o, r, s} (ogni lettera una volta sola, in ordine alfabetico), vocali("francesco") = {a, e, o}, consonanti("francesco") = {c, f, n, r, s}, cifre(2024) = {0, 2, 4}. Le virgolette si possono omettere per una parola sola; maiuscole e accenti non contano. Funzionano anche dentro le operazioni: vocali(casa) ∩ vocali(mela), |lettere("precipitevolissimevolmente")|.
Proprietà caratteristica. Un insieme si può scrivere con una condizione sui suoi elementi: {x ∈ U | x pari} (la | si legge «tale che»; va bene anche :), {x | x primo ∧ x < 20} (senza dominio si prende U), {x ∈ A | x > 3} (dominio qualsiasi insieme), per immagine {2n | n ∈ U, n ≤ 5} o {n² | n ∈ {1..6}}.
Condizioni: confronti < ≤ > ≥ = ≠ anche a catena (1 < x ≤ 9), x pari, x dispari, x primo, x multiplo di 3, x divisibile per 4, x divisore di 12, x ∈ A, x ∉ A, x vocale, x consonante; aritmetica + - * / ^ mod con prodotto implicito (2x, x(x+1)) e x²; collegate con ∧ ∨ ¬, e o non, and or not o la virgola (= e). Puoi scriverla anche in un'operazione al volo: A ∩ {x | x dispari}.
In LaTeX: \{x \in U \mid x \text{ pari}\}, \{\,x : x < 5\,\}.
Aritmetica. Fra numeri + - * / ^ fanno i conti e < ≤ > ≥ = ≠ li confrontano: (3 = 2+1), (7/2 > 3), (2^3 = 8), e con le cardinalità |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|, |P(A)| = 2^|A|. Precedenza: * / prima di + -; ^ sta al livello di + -, quindi scrivi 1 + (2^3). Fra insiemi gli stessi segni restano ∪ \ × Δ.
Logica. Le relazioni (3 ∈ A, A ⊆ B, A ∩ B = ∅…) sono proposizioni, vere o false, e si possono collegare: (3 ∈ A) ∧ (A ⊆ B) e, (3 ∈ A) ∨ (3 ∈ B) o, ¬(3 ∈ A) non, (A ⊆ B) ⇒ (A ∩ B = A) implica, ⇔ se e solo se. Precedenza dalla più forte: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔; le relazioni vanno fra parentesi.
In ASCII: (…) ^ (…) per ∧ (fra insiemi ^ resta Δ), (…) v (…) per ∨, !(…) o ~(…) o not (…) per ¬, =>, <=>, e le parole and, or.
In LaTeX: \land o \wedge → ∧ · \lor o \vee → ∨ · \lnot o \neg → ¬ · \Rightarrow, \implies, \to → ⇒ · \Leftrightarrow, \iff → ⇔.